Ayrık Zamanlı Sinyaller ve MATLAB uygulaması

Merhaba bu yazıda ayrık zamanlı sinyalleri ve bunları MATLAB ortamında nasıl çizdirebileceğimizi öğreneceğiz.

Ayrık zamanlı işaretler sürekli zamanlı işaretlerin örneklenmesi ile elde edilmektedir. Ayrık zamanlı işaretler bir dizi sayıdan oluşmaktadır. Başka bir deyişle “t” ayrık bir değişken ise x(t) sinyali ayrık zamanlı bir sinyaldir. Ayrık zamanlı bir sinyal, n bir tamsayı olmak üzere x(n) biçiminde bir sayı dizisi ile gösterilebilir. n=0,1,2,..., (N-1) için sonlu bir dizi olan x(n) sinyali Nx1 boyutlu bir vektör olarak de temsil edilebilir[1]. 

Şekil 1

Şekil 1'de ayrık zamanlı bir sinyal görülmektedir.   Bu sinyalin aslında birim dürtü işaretlerinden oluştuğunu rahatlıkla görebiliriz. Mesela n=3'deki işarete bakacak olursak dürtü işaretinin 3 birim ötelenmiş hali olduğunu fark edebiliriz. Dürtü işaretini kısaca hatırlayalım.     

      

Şekil 2

 

Dürtü işaretinin grafiği şekil 2'de verildiği gibidir. Şekil 1'de gösterilen ayrık zamanlı işareti dürtü işaretleri cinsinden ifade etmek istersek şu şekilde ifade edebiliriz:

x[n]=4*δ[n]+ 2*δ[n-1]+ 3*δ[n-2]+ δ[n-3]+ 5*δ[n-4]

                   

Şimdi de bu işareti MATLAB ortamında çizdirelim:

x=[4 2 3 1 5]; %işaretin aldığı değerler tanımlanır.
n=0:4; %genlik değerlerinin hangi n değerlerine karşılık geldiği sırayla yazılır.
stem(n,x); %grafik çizdirilir. 
title('x[n]');

MATLAB'da çizdirdiğimiz grafik:

Şimdi de ayrık sinüzoidal işaretlere bakalım. Yazının başında da bahsettiğim üzere ayrık zamanlı sinüzoidal bir işaret elde etmek istiyorsak sürekli zamanlı bir sinüzoidal sinyali örneklememiz gerekmektedir. Bunun için bize örnekleme frekansı gereklidir. Örnekleme frekansı bir sinyalden ne kadar sıklıkla örnek alındığı verir. Örnekleme periyodu ile örnekleme frekansı arasında Fs=1/Ts ilişkisi vardır.

Sürekli zamanlı bir sinüzoidal bir işarette t yerine n*Ts yazarak ayrık zamanlı sinüzoidal işareti elde etmiş oluyoruz.

Cos(200*π*t) -->  Cos(200*π*n*Ts)

Bu ilişkiyi MATLAB ortamında çizdirerek inceleyelim.

t=0:0.0001:0.02; %2 periyot çizdirmek için
n=0:16 %2 periyot çizdirmek için
Fs=800; Ts=1/Fs; 
x_n=cos(200*pi*n*Ts);
stem(n,x_n); xlabel('n'); ylabel('x[n]'); figure;
plot(t,cos(200*pi*t), 'r'); xlabel('t'); ylabel('x(t)');

Siz de farklı sinyaller ile denemeler yapabilirsiniz. Bir sonraki yazıda görüşmek üzere :)

KAYNAKÇA

[1] Ergün, Taner, Tek Frekans Kestirim Yöntemlerinin İncelenmesi